[蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数列，$A_1,A_2,\cdots A_N$，如果其中一段连续的子序列 $A_i,A_{i+1},\cdots A_j(i\le j)$ 之和是 $K$ 的倍数，我们就称这个区间 $[i,j]$ 是 $K$ 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 $K$ 倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$$(1\le N,K\le 10^5)$。

以下 $N$ 行每行包含一个整数 $A_i$$(1\le A_i\le 10^5)$。

输出格式

输出一个整数，代表 $K$ 倍区间的数目。

样例 #1

样例输入 #1

5 2
1  
2  
3  
4  
5

样例输出 #1

6

提示

时限 2 秒, 256M。蓝桥杯 2017 年第八届

分析

题目很简单，我的第一反应就是暴力，直接双重循环枚举左右区间

import java.util.*;
public class Main{
    static int res;
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        int n = scan.nextInt();
        int k = scan.nextInt();
        int[] a = new int[n+1];
        for(int i = 0;i<n;i++){
            a[i]=scan.nextInt();
        }
        for(int i = 0;i<n;i++){
            int q = 0;
            for(int j=i;j<n;j++){
                q+=a[j];
                if(q%k==0) res++;
            }
        }
        System.out.println(res);
    }
}

代码没啥问题，但会超时，

我们考虑优化，区间和问题，自然想到的就是前缀和，借此可以优化一维，但是如果就仅仅优化这个还是不够的，依旧会超时，这我们就不得不思考一种新的方法来判断是否满足K倍区间，根据同余定理 ，因此有如下思路

已知a<b，suma，sumb分别为a，b的前缀和（从序列第一个数到它自身的所有数之和），且suma%k=x，sumb%k=x。那么可得（sumb-suma）%k=0。即由b-a产生的区间c，一定为一个k倍区间

那么我们就可以将前缀和模k的值为0，1，2…k-1的区间数分别求出来，然后分别计算。

import java.util.Scanner;

public class Main {
    // 后面用不到原数列，所以只存储前缀和
    public static int[] sum = new int[100005];
    // 用来统计相同余数的的个数
    public static long[] remainder = new long[100005];
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long ans = 0;
        // 前0项和是0，注意余数为0开始就出现一次
        remainder[0] = 1;
        int n = sc.nextInt();
        int k = sc.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int num = sc.nextInt();
            sum[i] = sum[i - 1] + num;
            remainder[sum[i] % k]++;
        }
        sc.close();
        for (int i = 0; i < k; i++)
            ans += (remainder[i] * (remainder[i] - 1)) >> 1;
        System.out.println(ans);
    }
}